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ANKH n°6-7, 1997/1998, pp.
236 - 279.
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Existence d'une solution d'un problème à frontière libre
de type Bernoulli. Méthodes de sur-solutions et de
sous-solutions géométriques
Résumé
: Il s'agit d'étudier l'existence d'une solution d'un
problème à frontière libre de type Bernoulli. Plus
précisément on recherche un domaine de forme annulaire
de l'espace à N dimensions sur lequel existe une
solution pour certaine équation aux dérivées partielles
surdéterminée (c'est-à-dire que le gradient de la
fonction solution doit satisfaire une certaine condition
sur la frontière du domaine inconnu).
Ce problème intervient dans de
nombreuses situations physiques (comme par exemple, le
formage électrochimique, isolation thermique optimale,
écoulement Hele Shaw) et a été beaucoup étudié ces
dernières années.
Dans ce travail, on reprend une
ancienne méthode, due à A. Beurling en dimension deux,
pour prouver l'existence de solutions à ce problème par
l'introduction de sous et sur-solutions géométriques et
on généralise cette méthode à la dimension N.
Nous
comparons ensuite les solutions que nous avons obtenues
avec celles obtenues par d'autres auteurs, comme H. W.
ALT et L. CAFFARELLI par exemple. On prouve aussi, sous
certaines hypothèses, la régularité lipschitzienne de la
frontière libre.
Abstract :
Existence of a Solution of a Bernoulli's Free
Boundary Problem.
One
searchs a ring in N dimensional, which satisfies an
over-determined partial differential equations (that is,
the gradient of the function which is solution, has to
satisfy a condition over the boundary of the unknown
domain).
This problem
was very studied in the last years and the physical and
industrial applications leading to Bernoulli's free
boundary problem are numerous - for example free
surfaces in ideal fluid dynamics, optimal insolation,
electrolytic drilling, galvanization.
In this work,
we take back an old method due to A. BEURLING in
two dimensions, in order to prove existence of
solutions for problem, by introducing geometric sub and
super-solutions and we generalize this method in high
dimension.
Then we
compare the solution that we obtain with those obtained
by other authors, like H. W. ALT and L. CAFARELLI. We
prove also, under a number of hypothesis the Lipschitz
regularity of the boundary. |
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